Strukturen der Hyperkugel

Oberfläche der 3-D-Kugel
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Für jeden Punkt P gilt:
Er liegt auf allen Großkreisen mit dem Radius der Kugel, die durch diesen Punkt hindurchgehen. Jeder Punkt auf der Oberfläche ist auch Mittelpunkt der Oberfläche.
Oberfläche der 4-D-Hyperkugel
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Für jeden Punkt P gilt:
Er liegt auf allen Großkugeln mit dem Radius der Kugel, die durch diesen Punkt hindurchgehen. Zusätzlich gilt:
Er liegt auch auf allen Großkreisen aller Großkugeln, die durch diesen Punkt hindurchgehen. Jeder Punkt auf der Oberfläche ist auch Mittelpunkt der Oberfläche.

 

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Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist der Großkreis, auf dem beide Punkte liegen.
Alle Punkte, die nicht genau gegenüber liegen, sind nur durch einen einzigen Großkreis verbunden
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Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten sind die Großkreise der Großkugeln, auf denen beide Punkte liegen. Alle Punkte, die nicht genau gegenüber liegen, sind durch jeweils einen Großkreis auf unendlich vielen Großkugeln miteinander verbunden.

 

erde
Ein Gedanken-Experiment:
Wir starten mit einem Flugzeug von Frankfurt aus Richtung Norden und fliegen immer geradeaus.
Nach einiger Zeit werden wir uns Frankfurt aus Richtung Süden nähern.

Jetzt stellen wir uns vor, unser Universum sei die 3-D-Oberfläche einer 4-D-Hyperkugel mit einem Radius von etwas mehr als dem der Erde.

Was ändert sich?

Es gibt jetzt viele Möglichkeiten, Richtung Norden zu starten, geradeaus zu fliegen und aus Richtung Süden wieder anzukommen.
So kann es sein, dass wir einen Kreis genau entgegengesetzt zur Erde fliegen oder einen Kreis nach rechts oder nach links oder irgendeinen beliebigen Kreis mit dem Durchmesser unseres Mini-Universums in einer beliebigen Ausrichtung auf der 360° Skala.

 

Entscheidend hierbei ist, dass wir keinerlei Einfluß darauf hätten, welchen Weg wir tatsächlich nehmen würden. Für alle diese Wege gilt gleichermaßen, dass wir Richtung Norden starten und immer geradeaus fliegen.
Unser Universum ist so groß, dass dieser Effekt bei den heute erreichbaren Distanzen nicht messbar ist.
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Wir bleiben bei unserem Mini-Universum und untersuchen, wie sich Licht hier wohl ausbreiten würde. Dazu richten wir einen Lichtstrahl Richtung Norden. Wie erwartet kommt dieser Lichtstrahl aus Süden zurück.
Während das Flugzeug nur einen Weg nehmen kann, nimmt das Licht gleichzeitig alle Wege durch unser Mini-Universum.
Wenn wir den gerichteten Lichtstrahl nach kurzer Di- stanz mit einem Schirm auffangen, sehen wir einenn Lichtkreis.
Je weiter wir uns von der Lichtquelle entfernen, desto größer wird dieser Kreis, bis er ganz verschwindet.
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Während bei Flugzeugen und Raumschiffen der Effekt der Krümmung des Universums nicht messbar ist, tritt er bei der Beobachtung ferner Sterne deutlich sichtbar auf.
Zwar sehen wir kaum Lichtkreise einfach deshalb, weil die Sterne nicht nur in unsere Richtung strahlen.
Wir sehen quasi eine Überlagerung von sehr vielen Lichtkreisen, die zu einem diffusen Fleck werden.